模意义下的数和运算

取模的运算

定义:对于整数和,满足,则存在唯一的整数和,满足,其中

其中称为商,为余数。余数可以记作或者表示

模的运算基本上与普通运算规律一样,见下:

给出简单证明：
令

对于为什么和的模等于模的和再模,对于加法,的和可能大于,对于减法,二者差可能出负数,所以需要再次取模

比如应该为,但是仅计算会得到,需要再一次取模。

再比如应该是,但是得到,需要再一次取模。

乘法同样可以用上面方法证明出来

特别地,除法不满足以上运算律

比如,但是,二者不相等

不难发现,任意数对取模得结果只有种,分别是

根据这个结果,可以把意义下所有整数分成种类型,如果两个数结果相同,那么就把它们视为同一类。

将这种意义下得相同,称作同余。

我们规定:若两数除以得余数相等,则称模同余,记作

除法性质了解即可

容易得到:等价于

裴蜀定理:对于整数,一定存在一组整数使得

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